Wierzchołek zikkuratu
Szukaj na stronie...

mapa strony

tutaj jesteś: Strona Główna >> Nauka >> Matematyka

Matematyka


Matematyka w Sumerze powstała w odpowiedzi na biurokratyczne zapotrzebowania. Kiedy cywilizacja okrzepła i zaczęło się rozwijać rolnictwo, trzeba było wymierzyć działki lub ustalić podatki dla mieszkańców. Sumerowie dodatkowo musieli umieć posługiwać się całkiem dużymi liczbami, aby móc sporządzić wykres przebiegu gwiazd lub rozwijać swój skomplikowany kalendarz księżycowy.

Skrzydlaty dysk - symbol bogów sumeryjskich

Sumerowie byli być może pierwszymi ludźmi, którzy przypisali pojedyncze symbole do grup obiektów, aby liczenie uczynić łatwiejszym. Przeszli od używania pojedynczych tokenów i znaków do przypisania jednego symbolu jakiejś określonej liczbie, np. określonej ilości snopów pszenicy bądź słojów oleju. Na początku – w IV tys. p.n.e. – używano małego glinianego stożka, który reprezentował jedną sztukę (Ryc.1), np. jedno zwierzę lub jeden chleb, czyli oznaczał on liczbę 1. Do przedstawienia liczby 10 nie potrzeba było 10 stożków, ponieważ używano do tego glinianej kuli, czyli jedna kula reprezentowała 10 sztuk jakiegoś towaru. Do przedstawienia liczby 60 też nie potrzeba było 6 kul, ponieważ wystarczył do tego duży gliniany stożek.

Systemy liczenia i zapisu liczb


W III tys. p.n.e. obiekty w postaci stożków i kul zostały zastąpione przez znaki, zatem liczby mogły być zapisywane jako słowa w tekście. W najwcześniejszych tekstach piktograficznych spotyka się tylko dwa podstawowe znaki: sumeryjski zapis liczby 1 oraz koło koło - sumeryjski zapis liczby 10, które zmieniono później na hak tzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10.

Sumeryjskie gliniane stożki
Ryc. 1/ Początkowo do zapisu jednostek używano małych glinianych stożków, które reprezentowły pojedyncze sztuki towaru.

Sumeryjski system liczenia oparty był na liczbie 60, który w późniejszych czasach krzyżował się z systemem opartym na liczbie 10, z tym że system dziesiętny odgrywał znacznie mniejszą rolę. System sześćdziesiętny prawdopodobnie powstał za sprawą metody liczenia do 60 przy pomocy palców i kostek dłoni, na którą składało się 12 kostek na jednej dłoni x 5 palców na drugiej. Do zapisu wartości od 1 do 59 używano kombinacji znaków sumeryjski zapis liczby 1 oraz tzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10 (Ryc.2), czyli 1 i 10, który był podobny do systemu rzymskiego. Na przykład do zapisu liczby 23 stosowano następującą kombinację tzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10tzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10sumeryjski zapis liczby 1sumeryjski zapis liczby 1sumeryjski zapis liczby 1

Natomiast system liczenia od 60 – inaczej niż u Egipcjan, Greków i Rzymian – był podobny do współczesnego, gdzie cyfra z lewej strony wskazywała większy rząd wartości niż następna cyfra z prawej strony, z tą różnicą, że w Sumerze liczono do 60, a nie – jak obecnie – do 10. Dla przykładu zapis sumeryjski zapis liczby 1sumeryjski zapis liczby 1sumeryjski zapis liczby 1 reprezentował wartość 3661, czyli 3600 + 60 + 1.

Z tego powodu sumeryjski zapis liczby 1tzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10tzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10sumeryjski zapis liczby 1sumeryjski zapis liczby 1sumeryjski zapis liczby 1 oznacza 60 + 23 czyli 83. Liczba 60 była zapisywana – tak jak liczba 1 – klinem. Choć początkowo znaki te nieco się różniły, bo klin oznaczający 60 był większy, to różnica ta z biegiem czasu zupełnie zniknęła, a tym samym obie wartości były zapisywane identycznym znakiem, dlatego często aby odczytać poprawną wartość należało ją wywnioskować z kontekstu. Liczby od 60 do 99 zapisywano w następujący sposób: sumeryjski zapis liczby 60tzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10 (70=60+10), sumeryjski zapis liczby 60tzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10tzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10 (80=60+10+10).

W sześćdziesiętnym systemie liczbę sto zapisywano często w taki sposób sumeryjski zapis liczby 60sumeryjski zapis liczby 10sumeryjski zapis liczby 10sumeryjski zapis liczby 10sumeryjski zapis liczby 10. Nie znaczy to jednak, że nie istniał żaden inny znak graficzny do oznaczenia tej liczby. Już w okresie wczesnodynastycznym wyrażano ją w postaci dużego koła duże koło - sumeryjski zapis liczby 100 lub owalnego odcisku, czyli powiększonym znakiem dla liczby 10, co wskazuje, że system dziesiętny był znany i stosowany), a później specjalnym znakiem sumeryjski zapis liczbysumeryjski zapis liczby, który Sumerowie czytali jako me.

Kiedy występowały duże liczby można było je ze sobą mnożyć sumeryjski zapis liczby 60sumeryjski zapis liczby 60 (2x60=120), ale można ją było zapisać następująco: (duże koło i dwa małe koła) sumeryjski zapis liczby sumeryjski zapis liczby sumeryjski zapis liczby (100+10+10=120) lub sumeryjski zapis liczby 60sumeryjski zapis liczby 60sumeryjski zapis liczbytzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10tzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10 (1x100+10+10=120).

Zapis sumeryjskich liczb od 1 do 59
Ryc. 2/ Zapis sumeryjskich liczb od 1 do 59 przypominał system rzymski

Ważna dla systemu dziesiętnego liczba tysiąc wyrażana była specjalnym znakiem: tzw. hak - sumeryjski zapis liczby 10sumeryjski zapis liczby 60sumeryjski zapis liczby 60 (10x100=1000)

W sześćdziesiętnym systemie liczenia ważną rolę odgrywała liczba 3600, czyli 60 podniesione do kwadratu. Liczbę tę zapisywano bardzo dużym kołem, natomiast w późniejszych czasach takim znakiem: sumeryjski zapis liczby 3600.

W przytoczonych powyżej przykładach zapisywania liczb zastosowanie arytmetycznych zasad dodawania i mnożenia wskazuje dowodnie na to, że sześć dziesiętny i dziesiętny system liczenia były systemami pozycyjnymi, w którym wartość symbolu liczbowego zależała od jego miejsca w stosunku do pozostałych symboli.

Tak więc kiedy pismo osiągnęło już znaczny rozwój, a wielkość znaków wyrażających liczby została zniwelowana, każda jedynka i dziesiątka w zależności od pozycji zmieniała swoją wartość, a tym samym wartość zapisu. Przesuniecie liczby o jedno miejsce w lewo od pozycji podstawowej (a więc jedności i dziesiątek) w zakresie liczb jednostkowych lub dziesiętnych, sześćdziesięciokrotnie zwiększało wartość liczbową, a w prawo tyleżkrotnie pomniejszało, np. liczby (60+10=70) wyrażają zupełnie inną wartość niż te same symbole ułożone inaczej: (10+1=11), w których znak oznaczający 10 raz jest przesunięty w lewo a raz w prawo. Podobnie jak we współczesnym systemie liczbowym 71 nie jest tym samym co 17, choć to ciągle te same cyfry.

Powodem stosowania w Sumerze systemu sześćdziesiętnego było prawdopodobnie również to, że upraszczało to liczenie, ponieważ 60 ma wiele podzielników (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12 ,15 ,20 , 30 i 60). Jest to najmniejsza liczba, która dzieli się przez wszystkie liczby od 1 do 6. Ponieważ system ten sprawdza się dobrze od tysiącleci obecnie godzina składa się z 60 minut, a minuta z 60 sekund. Koło ma 360 stopni (6 x 60). Z tego powodu też doba ma 24 godziny, czyli 2 x 12 (w Sumerze doba składała się z 12 podwójnie liczonych godzin), a rok składa się z 12 miesięcy.

Sumerowie stosowali jedno bardzo ważne rozwiązanie, którym było zero. Nie znano go w Egipcie ani w Grecji czy Rzymie. Do zapisu zera używano koła.

Wagi i miary


Sześćdziesiętny sposób liczenia używany w Sumerze w początkowej fazie rozwoju był pod wpływem systemu skali wag, w którym podstawową jednostką wagi była mina, dzielona na sześćdziesiąt szekli, a sześćdziesiąt min stanowiło talent – około 30 kg.

Ułamki


Sumerowie posługiwali się ułamkami. Zazwyczaj mianownikiem były liczby 6, 60, 360 albo 3600, jednak jeśli już pisano ułamki z dowolnym mianownikiem, to licznikiem zawsze była liczba 1.

Działania matematyczne


W piśmie klinowym nie było specjalnego znaku, którym wyrażano by dodawanie – tego działania należało się domyślać. Odejmowanie było zapisywane znakiem str. 266 Mierzejewski, rys. 1. Tabliczek dodawania i odejmowania zachowało się wiele, prawdopodobnie dlatego, że działania te są łatwiejsze, ale odnaleziono też takie na których zapisane były działania pierwiastkowania kwadratowego i sześciennego, które służyły wyłącznie do celów praktycznych. Zapis czyta się od prawej strony. Na tabliczkach odczytywanych od prawej strony dwie pierwsze kolumny pokazują pierwiastkowanie sześcienne, a dwie dalsze kwadratowe (Ryc.3).

Zapis sposobu pierwiastkowania w Sumerze
Ryc. 3/ Zapis sposobu pierwiastkowania w Sumerze - czyta się od prawej strony. Dwie pierwsze kolumny pokazują pierwiastkowanie sześcienne, a dwie dalsze kwadratowe.

Sumerowie już około 3000 roku p.n.e. stosowali mnożenie, dzielenie, tablice matematyczne, podnoszenie liczby do kwadratu oraz do trzeciej potęgi. Na tabliczkach pochodzących z okresu starobabilońskiego, z lat około 1800-1600 p.n.e., czyli już po upadku Sumeru, znajdowały się rozwiązania równań pierwszego stopnia, kwadratowych a nawet sześciennych. Jedna z babilońskich tabliczek podaje wynik ?2 z zadziwiającą dokładnością do pięciu miejsc po przecinku. Znano wtedy również twierdzenie, które mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa długości przeciwprostokątnej podniesionej do kwadratu. Współcześnie zasada ta jest znana pod nazwą twierdzenia Pitagorasa i przez kulturę zachodnią sformułowanie jej niesłusznie przypisuje się starożytnym Grekom.

Cywilizacja Babilonii nie jest oryginalną kulturą, ale tylko próbą kontynuacji cywilizacji Sumerów i niemal całe piśmiennictwo starobabilońskie zawiera odpisy starszych tekstów sumeryjskich, aby uchronić je od zapomnienia. Stanowi to zatem dowód pośredni w tym, że Sumerowie byli wybitnymi matematykami, a późniejsze kultury czerpały tylko z tego dorobku.

Geometria


Wyjątkowe znaczenie miała także geometria, znajdująca w życiu codziennym wiele zastosowań, np. przy dokonywaniu pomiarów pól, ogrodów i tworzeniu planów budowy. Coroczne powodzie, jakie nawiedzały dolinę Mezopotamii zacierały miedze, dlatego ciągle na nowo trzeba było dokonywać pomiarów. Także przy nabywaniu ziemi lub dzieleniu majątku na mniejsze działki znajomość geometrii była niezbędna. Zachowały się mapy gruntów uprawnych i plany budowli sporządzone około 2100 roku. p.n.e.

Mapa gruntów z roku około 2100 p.n.e. - Sumer
Ryc. 4/ Mapa gruntów uprawnych z roku około 2100 p.n.e. Nieregularnych kształtów pola dzielono na prostokąty, trójkąty i trapezy, a po ich obliczaniu, mierzeniu otrzymywano pomiary całej powierzchni

Nieregularnych kształtów pola dzielono na prostokąty, trójkąty i trapezy, a po ich obliczaniu, mierzeniu otrzymywano pomiary całej powierzchni (Ryc.4).

Uczniowie, którzy pragnęli posiąść wiedzę matematyczną, posługiwali się różnymi podręcznikami. Znajdowały się w nich rozwiązania zadań, np. obliczyć długość przekątnej prostokąta lub bardziej praktyczne – obliczyć ile potrzeba ziemi do zbudowania nasypu albo ile ziemi powinien przynieść każdy robotnik. Najwięcej tekstów dotyczących geometrii i arytmetyki znaleziono w Nippur – pochodzą one z okresu wczesnodynastycznego.

Skrzydlaty dysk - symbol bogów sumeryjskich

data utworzenia: 27.08.2015
ostatnia aktualizacja treści: 27.08.2015

źródła:
Tajemnice glinianych tabliczek – Antoni Mierzejewski
The Story of Mathematics


kontakt
statystyka wejść