Matematyka
Matematyka w Sumerze powstała w odpowiedzi na biurokratyczne zapotrzebowania. Kiedy cywilizacja okrzepła i zaczęło się rozwijać rolnictwo, trzeba było wymierzyć działki lub ustalić podatki dla mieszkańców. Sumerowie dodatkowo musieli umieć posługiwać się całkiem dużymi liczbami, aby móc sporządzić wykres przebiegu gwiazd lub rozwijać swój skomplikowany kalendarz księżycowy.
Sumerowie byli być może pierwszymi ludźmi, którzy przypisali pojedyncze symbole do grup obiektów, aby liczenie uczynić łatwiejszym. Przeszli od używania pojedynczych tokenów i znaków do przypisania jednego symbolu jakiejś określonej liczbie, np. określonej ilości snopów pszenicy bądź słojów oleju. Na początku – w IV tys. p.n.e. – używano małego glinianego stożka, który reprezentował jedną sztukę (Ryc.1), np. jedno zwierzę lub jeden chleb, czyli oznaczał on liczbę 1. Do przedstawienia liczby 10 nie potrzeba było 10 stożków, ponieważ używano do tego glinianej kuli, czyli jedna kula reprezentowała 10 sztuk jakiegoś towaru. Do przedstawienia liczby 60 też nie potrzeba było 6 kul, ponieważ wystarczył do tego duży gliniany stożek.
Systemy liczenia i zapisu liczb
W III tys. p.n.e. obiekty w postaci stożków i kul zostały zastąpione przez znaki, zatem liczby mogły być zapisywane jako słowa w tekście. W najwcześniejszych tekstach piktograficznych spotyka się tylko dwa podstawowe znaki: 
oraz koło 
, które zmieniono później na hak 
.
Sumeryjski system liczenia oparty był na liczbie 60, który w późniejszych czasach krzyżował się z systemem opartym na liczbie 10, z tym że system dziesiętny odgrywał znacznie mniejszą rolę. System sześćdziesiętny prawdopodobnie powstał za sprawą metody liczenia do 60 przy pomocy palców i kostek dłoni, na którą składało się 12 kostek na jednej dłoni x 5 palców na drugiej. Do zapisu wartości od 1 do 59 używano kombinacji znaków oraz (Ryc.2), czyli 1 i 10, który był podobny do systemu rzymskiego. Na przykład do zapisu liczby 23 stosowano następującą kombinację
Natomiast system liczenia od 60 – inaczej niż u Egipcjan, Greków i Rzymian – był podobny do współczesnego, gdzie cyfra z lewej strony wskazywała większy rząd wartości niż następna cyfra z prawej strony, z tą różnicą, że w Sumerze liczono do 60, a nie – jak obecnie – do 10. Dla przykładu zapis reprezentował wartość 3661, czyli 3600 + 60 + 1.
Z tego powodu oznacza 60 + 23 czyli 83. Liczba 60 była zapisywana – tak jak liczba 1 – klinem. Choć początkowo znaki te nieco się różniły, bo klin oznaczający 60 był większy, to różnica ta z biegiem czasu zupełnie zniknęła, a tym samym obie wartości były zapisywane identycznym znakiem, dlatego często aby odczytać poprawną wartość należało ją wywnioskować z kontekstu. Liczby od 60 do 99 zapisywano w następujący sposób: (70=60+10), (80=60+10+10).
W sześćdziesiętnym systemie liczbę sto zapisywano często w taki sposób . Nie znaczy to jednak, że nie istniał żaden inny znak graficzny do oznaczenia tej liczby. Już w okresie wczesnodynastycznym wyrażano ją w postaci dużego koła 
lub owalnego odcisku, czyli powiększonym znakiem dla liczby 10, co wskazuje, że system dziesiętny był znany i stosowany), a później specjalnym znakiem 
, który Sumerowie czytali jako me.
Kiedy występowały duże liczby można było je ze sobą mnożyć (2x60=120), ale można ją było zapisać następująco: (duże koło i dwa małe koła) (100+10+10=120) lub (1x100+10+10=120).
Ważna dla systemu dziesiętnego liczba tysiąc wyrażana była specjalnym znakiem: (10x100=1000)
W sześćdziesiętnym systemie liczenia ważną rolę odgrywała liczba 3600, czyli 60 podniesione do kwadratu. Liczbę tę zapisywano bardzo dużym kołem, natomiast w późniejszych czasach takim znakiem: 
.
W przytoczonych powyżej przykładach zapisywania liczb zastosowanie arytmetycznych zasad dodawania i mnożenia wskazuje dowodnie na to, że sześć dziesiętny i dziesiętny system liczenia były systemami pozycyjnymi, w którym wartość symbolu liczbowego zależała od jego miejsca w stosunku do pozostałych symboli.
Tak więc kiedy pismo osiągnęło już znaczny rozwój, a wielkość znaków wyrażających liczby została zniwelowana, każda jedynka i dziesiątka w zależności od pozycji zmieniała swoją wartość, a tym samym wartość zapisu. Przesuniecie liczby o jedno miejsce w lewo od pozycji podstawowej (a więc jedności i dziesiątek) w zakresie liczb jednostkowych lub dziesiętnych, sześćdziesięciokrotnie zwiększało wartość liczbową, a w prawo tyleżkrotnie pomniejszało, np. liczby (60+10=70) wyrażają zupełnie inną wartość niż te same symbole ułożone inaczej: (10+1=11), w których znak oznaczający 10 raz jest przesunięty w lewo a raz w prawo. Podobnie jak we współczesnym systemie liczbowym 71 nie jest tym samym co 17, choć to ciągle te same cyfry.
Powodem stosowania w Sumerze systemu sześćdziesiętnego było prawdopodobnie również to, że upraszczało to liczenie, ponieważ 60 ma wiele podzielników (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12 ,15 ,20 , 30 i 60). Jest to najmniejsza liczba, która dzieli się przez wszystkie liczby od 1 do 6. Ponieważ system ten sprawdza się dobrze od tysiącleci obecnie godzina składa się z 60 minut, a minuta z 60 sekund. Koło ma 360 stopni (6 x 60). Z tego powodu też doba ma 24 godziny, czyli 2 x 12 (w Sumerze doba składała się z 12 podwójnie liczonych godzin), a rok składa się z 12 miesięcy.
Sumerowie stosowali jedno bardzo ważne rozwiązanie, którym było zero. Nie znano go w Egipcie ani w Grecji czy Rzymie. Do zapisu zera używano koła.
Wagi i miary
Sześćdziesiętny sposób liczenia używany w Sumerze w początkowej fazie rozwoju był pod wpływem systemu skali wag, w którym podstawową jednostką wagi była mina, dzielona na sześćdziesiąt szekli, a sześćdziesiąt min stanowiło talent – około 30 kg.
Ułamki
Sumerowie posługiwali się ułamkami. Zazwyczaj mianownikiem były liczby 6, 60, 360 albo 3600, jednak jeśli już pisano ułamki z dowolnym mianownikiem, to licznikiem zawsze była liczba 1.
Działania matematyczne
W piśmie klinowym nie było specjalnego znaku, którym wyrażano by dodawanie – tego działania należało się domyślać. Odejmowanie było zapisywane znakiem str. 266 Mierzejewski, rys. 1. Tabliczek dodawania i odejmowania zachowało się wiele, prawdopodobnie dlatego, że działania te są łatwiejsze, ale odnaleziono też takie na których zapisane były działania pierwiastkowania kwadratowego i sześciennego, które służyły wyłącznie do celów praktycznych. Zapis czyta się od prawej strony. Na tabliczkach odczytywanych od prawej strony dwie pierwsze kolumny pokazują pierwiastkowanie sześcienne, a dwie dalsze kwadratowe (Ryc.3).
Sumerowie już około 3000 roku p.n.e. stosowali mnożenie, dzielenie, tablice matematyczne, podnoszenie liczby do kwadratu oraz do trzeciej potęgi. Na tabliczkach pochodzących z okresu starobabilońskiego, z lat około 1800-1600 p.n.e., czyli już po upadku Sumeru, znajdowały się rozwiązania równań pierwszego stopnia, kwadratowych a nawet sześciennych. Jedna z babilońskich tabliczek podaje wynik ?2 z zadziwiającą dokładnością do pięciu miejsc po przecinku. Znano wtedy również twierdzenie, które mówi, że w trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa długości przeciwprostokątnej podniesionej do kwadratu. Współcześnie zasada ta jest znana pod nazwą twierdzenia Pitagorasa i przez kulturę zachodnią sformułowanie jej niesłusznie przypisuje się starożytnym Grekom.
Cywilizacja Babilonii nie jest oryginalną kulturą, ale tylko próbą kontynuacji cywilizacji Sumerów i niemal całe piśmiennictwo starobabilońskie zawiera odpisy starszych tekstów sumeryjskich, aby uchronić je od zapomnienia. Stanowi to zatem dowód pośredni w tym, że Sumerowie byli wybitnymi matematykami, a późniejsze kultury czerpały tylko z tego dorobku.
Geometria
Wyjątkowe znaczenie miała także geometria, znajdująca w życiu codziennym wiele zastosowań, np. przy dokonywaniu pomiarów pól, ogrodów i tworzeniu planów budowy. Coroczne powodzie, jakie nawiedzały dolinę Mezopotamii zacierały miedze, dlatego ciągle na nowo trzeba było dokonywać pomiarów. Także przy nabywaniu ziemi lub dzieleniu majątku na mniejsze działki znajomość geometrii była niezbędna. Zachowały się mapy gruntów uprawnych i plany budowli sporządzone około 2100 roku. p.n.e.
Nieregularnych kształtów pola dzielono na prostokąty, trójkąty i trapezy, a po ich obliczaniu, mierzeniu otrzymywano pomiary całej powierzchni (Ryc.4).
Uczniowie, którzy pragnęli posiąść wiedzę matematyczną, posługiwali się różnymi podręcznikami. Znajdowały się w nich rozwiązania zadań, np. obliczyć długość przekątnej prostokąta lub bardziej praktyczne – obliczyć ile potrzeba ziemi do zbudowania nasypu albo ile ziemi powinien przynieść każdy robotnik. Najwięcej tekstów dotyczących geometrii i arytmetyki znaleziono w Nippur – pochodzą one z okresu wczesnodynastycznego.
data utworzenia: 27.08.2015
ostatnia aktualizacja treści: 27.08.2015
źródła:
Tajemnice glinianych tabliczek – Antoni Mierzejewski
The Story of Mathematics